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集合包含：区间子集与空集分类讨论

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    解题步骤

      高中数学 · 集合与数轴区间

      题目

      已知集合 A={x | −1≤x≤1，B={x | a−1≤x≤2a−1}，若 B ⊆ A，则实数 a 的取值范围是

      集合包含与数轴区间分类示意图数轴显示固定区间A为[-1,1]。情况一B为空集(a小于0)；情况二B为非空区间且端点落在A内(0小于等于a小于等于1)，合并取并集得a小于等于1。-2-1012x集合 A = [−1, 1]① 当 B = ∅ 时：a − 1 > 2a − 1 ⇒ a < 0（恒成立）② 当 B ≠ ∅ 时：-1 ≤ a−1 且 2a−1 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ a ≤ 1综合两类情况，取并集得：a ≤ 1（即 (−∞, 1]）
      数轴图解：集合A固定在[-1,1]，集合B在空集（a<0）和非空区间（0≤a≤1）下分别满足B⊆A，综合取并集得 a≤1。

      分步解法

      1. 理解子集定义与分类出发点

      集合 A = [−1, 1] 是闭区间。要使 B ⊆ A 成立，集合 B 中的每个元素都必须属于 A。解决此题最容易被忽略的关键点是：空集 ∅ 是任何集合的子集，因此必须对集合 B 是否为空集进行严谨的分类讨论。

      2. 情况一：当集合 B 为空集时 (B = ∅)

      当区间的左端点严格大于右端点时，集合 B 没有元素，即 B = ∅。不等式为 a − 1 > 2a − 1，移项解得 a < 0。由于空集是任何集合的子集，此时 B ⊆ A 恒成立，因此 a < 0 全部符合题意。

      3. 情况二：当集合 B 为非空集时 (B ≠ ∅)

      当 a − 1 ≤ 2a − 1（即 a ≥ 0）时，集合 B 表示一个非空闭区间。要使 [a − 1, 2a − 1] ⊆ [−1, 1]，区间的两端点必须同时落在 A 的范围之内：① a − 1 ≥ −1 ⇒ a ≥ 0；② 2a − 1 ≤ 1 ⇒ 2a ≤ 2 ⇒ a ≤ 1。联立解得 0 ≤ a ≤ 1。

      4. 综合两种情况取并集

      综合情况一 (a < 0) 与情况二 (0 ≤ a ≤ 1)，取两者的并集，得到参数 a 的取值范围为 a ≤ 1（在实数区间上表示为 (−∞, 1]）。

      实数 a 的取值范围是 a ≤ 1。

      这道题用到了什么方法？

      解决集合包含（B ⊆ A）问题的关键是“空集优先”意识。先按“B 是否为空集”分两类讨论，非空时再借助数轴将包含关系转化为端点值的不等式组。最终切记将各分支的解集取“并集”，确保端点完整无遗漏。