矩形与动点 · 旋转变换
题目
如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=8，点 E 在以 A 为圆心、2 为半径的圆上运动，连接 BE，以 B 为直角顶点，在 EB 的右边构造等腰直角三角形 EBF，连接 DF，则 DF 的最小值是 ________。
分步解法
1. 用旋转建立 E 与 F 的对应关系
由 BE = BF 且 ∠EBF = 90°，点 F 是点 E 绕 B 顺时针旋转 90° 的像。把点 E 所在的圆一起旋转，就能确定点 F 的运动轨迹。
2. 找到旋转后的圆心 G
将 A 绕 B 顺时针旋转 90° 得到 G。因为 AB = 4、BC = AD = 8，所以 G 在 BC 上，BG = 4，是 BC 的中点。旋转保持距离不变，因此 GF = AE = 2，点 F 在以 G 为圆心、半径为 2 的圆上运动。
3. 计算 D 到圆心 G 的距离
在直角三角形 DCG 中，DC = AB = 4，CG = BC − BG = 4。由勾股定理，DG = √(DC² + CG²) = √(4² + 4²) = 4√2。
4. 求最小值，并说明什么时候取到
由三角形两边之和不小于第三边，DF + FG ≥ DG，所以 DF ≥ DG − GF = 4√2 − 2。由于 DG > 2，当 D、F、G 共线且 F 在线段 DG 上时等号成立。圆上的这个 F 对应原圆上的一个 E，因此最小值能够取到。
DF 的最小值为 4√2−2。
这道题用到了什么方法？
等腰直角三角形给出 90° 旋转关系；旋转把难以直接观察的动点 F 转化为圆上的动点，再用“圆外点到圆的最短距离 = 到圆心的距离 − 半径”求最值。使用这个结论前，需要先确认定点在圆外，并说明等号成立的位置。