二次函数 · 对称轴与交点式待定系数法
题目
抛物线 y=ax^2+bx+5 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，AB=4。抛物线的对称轴 x=3 与经过点 A 的直线 y=kx-1 交于点 D，与 x 轴交于点 E。 (1) 求直线 AD 及抛物线的表达式；
分步解法
1. 利用对称轴与线段长确定点 A、B 的坐标
抛物线的对称轴为直线 x = 3，且与 x 轴交于 A、B 两点。由抛物线的对称性可知，线段 AB 被对称轴垂直平分。已知 AB = 4，所以点 A、B 到对称轴的水平距离均为 4 ÷ 2 = 2。由此求得点 A(3 − 2, 0) 即 A(1, 0)，点 B(3 + 2, 0) 即 B(5, 0)。
2. 待定系数法求直线 AD 的表达式
直线经过点 A(1, 0)，其表达式已知形式为 y = kx − 1。将点 A(1, 0) 代入方程中：0 = k · 1 − 1，解得 k = 1。因此，直线 AD 的表达式为 y = x − 1。
3. 用交点式快速设出抛物线
抛物线与 x 轴的两个交点坐标分别为 (1, 0) 和 (5, 0)，可以直接设抛物线为交点式：y = a(x − 1)(x − 5)。抛物线解析式 y = ax² + bx + 5 中常数项为 5，说明抛物线与 y 轴交于点 C(0, 5)。
4. 代入点 C 坐标求解并展开为一般式
将点 C(0, 5) 代入交点式：5 = a(0 − 1)(0 − 5) ⇒ 5 = 5a ⇒ a = 1。将 a = 1 代入展开：y = 1 · (x − 1)(x − 5) = x² − 6x + 5。由此求得抛物线的表达式。
本问结果为 直线 AD: y = x - 1，抛物线: y = x² - 6x + 5。
这道题用到了什么方法？
二次函数与几何综合题中，“对称性”是求交点坐标最快突破口。已知抛物线与 x 轴的两个交点时，优先设“交点式” y = a(x − x₁)(x − x₂)，能将三元待定系数法直接简化为一元计算，解法直观、计算量大幅减少。