立体几何 · 相似与多维度比例
题目
大正方体与小正方体的棱长比为3：2，它们的棱长总和的比为____，它们的底面积的比是____，它们的体积比是____。
分步解法
1. 棱长总和比（一维长度，一次方规律）
正方体共有 12 条完全相等的棱。大正方体与小正方体的棱长比为 3:2，它们的棱长总和之比为 (12 × 3) : (12 × 2) = 3:2。一维长度的比直接等于相似比本身。
2. 底面积的比（二维面积，二次方规律）
正方体的底面是正方形，面积等于“棱长 × 棱长”。大正方体底面积为 3² = 9，小正方体底面积为 2² = 4，因此底面积之比为 3² : 2² = 9:4。二维面积的比等于相似比的平方。
3. 体积的比（三维体积，三次方规律）
正方体的体积等于“棱长 × 棱长 × 棱长”。大正方体体积为 3³ = 27，小正方体体积为 2³ = 8，因此体积之比为 3³ : 2³ = 27:8。三维体积的比等于相似比的立方。
4. 总结答案
本题三空答案依次为：棱长总和比 3:2，底面积比 9:4，体积比 27:8。
三项比依次为 3:2，9:4，27:8。
这道题用到了什么方法？
立体几何与相似形问题的核心规律是“几何量随空间维度的幂次变化”：一维长度（如棱长、周长、对角线）之比为 k；二维面积（如底面积、表面积、侧面积）之比为 k²；三维体积之比为 k³。牢记这一规律，面对同类比例计算即可秒答，兼具严密性与解题速度。