高中数学 · 集合运算与二次方程判别式
题目
已知集合A = 𝑥|x² − 3𝑥 + b = 0，B = 𝑥|(𝑥 − 2)(x² + 3𝑥 − 4) = 0，满足(𝐶𝑅B) ∩ A = ∅， 求实数b的取值范围
分步解法
1. 求解方程，化简集合 B
方程 (x − 2)(x² + 3x − 4) = 0 可进一步因式分解为 (x − 2)(x + 4)(x − 1) = 0。解得方程的三个根为 x = −4，x = 1，x = 2。因此已知集合 B = {−4, 1, 2}。
2. 集合运算语言的等价转化
条件 (∁_R B) ∩ A = ∅ 表示：集合 A 与集合 B 的补集没有公共元素。根据韦恩图与补集定义，这意味着集合 A 的所有元素都必须落在集合 B 之中，即该条件严格等价于 A ⊆ B。
3. 分类讨论集合 A（按方程实根个数）
一元二次方程 x² − 3x + b = 0 的根判别式为 Δ = (−3)² − 4b = 9 − 4b： ① 当 Δ < 0 时：9 − 4b < 0 ⇒ b > 9/4。方程无实根，集合 A = ∅。因为空集是任何集合的子集，A = ∅ ⊆ B 恒成立，所以 b > 9/4 符合题意。 ② 当 Δ = 0 时：9 − 4b = 0 ⇒ b = 9/4。方程有重根 x = 3/2。但 3/2 ∉ B，不满足 A ⊆ B，此情况舍去。 ③ 当 Δ > 0 时：9 − 4b > 0 ⇒ b < 9/4。方程有两个不同实根 x₁, x₂ 且属于 B。由韦达定理，x₁ + x₂ = 3。在集合 B = {−4, 1, 2} 中，只有 1 + 2 = 3 符合条件。由韦达定理，两根之积 b = 1 × 2 = 2。此时 Δ = 9 − 4(2) = 1 > 0 满足条件。
4. 综合得出参数取值范围
综合上述三种情况，实数 b 的取值范围是 b = 2 或 b > 9/4。
实数 b 的取值范围是 b = 2 或 b > 9/4。
这道题用到了什么方法？
集合运算首重“逻辑化简”：第一步将补集与交集关系 (∁_R B) ∩ A = ∅ 准确等价翻译为包含关系 A ⊆ B；第二步紧扣一元二次方程根的判别式 Δ，对集合 A 为空集、单元素集、双元素集进行严密分类讨论；第三步利用韦达定理两根之和锁定元素，避免盲目尝试。